Nechť P je Sylow p-podgrupa G. … Je-li G jednoduché, pak má 10 podgrup řádu 3 a 6 podgrup řádu 5. Protože však tyto grupy jsou všechny cyklické prvořadého řádu je jakýkoli netriviální prvek G obsažen nejvýše v jedné z těchto skupin.
Jsou skupiny P cyklické?
triviální skupina je jedinou skupinou řádu jedna a cyklická skupina C p je jedinou skupinou řádu p.
Jsou podskupiny cyklické?
Věta: Všechny podgrupy cyklické skupiny jsou cyklické. Jestliže G=⟨a⟩ je cyklický, pak pro každého dělitele d |G| existuje právě jedna podskupina řádu d, kterou může generovat a|G|/d a | G | / d. Důkaz: Nechť |G|=dn | G |=d n.
Jsou podskupiny P Sylow normální?
Pokud má G právě jednu Sylow p-podskupinu, musí být normální, protože Jedinečná podskupina daného příkazu je normální. Předpokládejme, že Sylow p-podskupina P je normální. Pak se rovná svým konjugátům. Podle třetí Sylowovy věty tedy může existovat pouze jedna taková Sylowova p-podgrupa.
Jsou sylow P-podskupiny abelovské?
Dokázali jsme, že Sylow p-podgrupy konečné grupy G jsou abelian právě tehdy, když velikosti tříd p-prvků G jsou všechny stejné jako p, a, jestliže p ∈ { 3, 5 }, stupeň každého neredukovatelného znaku v hlavním p-bloku G je coprime k p.
