První věta, kterou Pugh dokazuje, jakmile definuje Riemannův integrál, je, že integrovatelnost implikuje ohraničenost. Toto je věta 15 na straně 155 v mém vydání. To ukazuje, že se nejprve musíme dohodnout na definicích.
Vyjadřuje integrovatelnost Riemanna ohraničená?
Věta 4. Každá Riemannova integrovatelná funkce je omezená.
Jsou neomezené funkce integrovatelné?
Neohraničená funkce není Riemannově integrovatelná. V následujícím textu bude „integrovatelný“znamenat „Riemann integrovatelný“a „integrální“bude znamenat „Riemann integrální“, pokud není výslovně uvedeno jinak. f(x)={ 1/x, pokud 0 < x ≤ 1, 0, pokud x=0. takže horní Riemannovy součty f nejsou dobře definované.
Je Lebesgueova integrovatelná funkce omezená?
Měřitelné funkce, které jsou ohraničené jsou ekvivalentní Lebesgueovým integrovatelným funkcím. Jestliže f je omezená funkce definovaná na měřitelné množině E s konečnou mírou. Pak f je měřitelné právě tehdy, když f je Lebesgueova integrovatelná. … Na druhou stranu jsou měřitelné funkce „téměř“spojité.
Jak poznáte, zda je funkce Lebesgueova integrovatelná?
Jestliže f, g jsou funkce takové, že f=g téměř všude, pak f je Lebesgueova integrovatelná právě tehdy, když g je Lebesgueova integrovatelná a integrály f a g jsou stejné, pokud existují.
